数值分析作为理论微积分无限精度与计算机硬件有限离散约束之间严谨的桥梁。本页确立了极限、连续性和可微性的基本定义，表明虽然微积分提供了‘精确’的解析目标，但数值计算则提供了在经典实分析中定义的容差（$\varepsilon$）和区间（$\delta$）限制下的‘近似’路径。
1. 基础：极限与序列逼近
我们从极限的理论抽象转向计算现实——处理器无法真正趋近于零；它只能趋近于一个 机器精度。
定义 1.1：极限
若函数 $f$ 定义在集合 $X$ 上，当 $x \to x_0$ 时，其极限为 $L$，记作 $\lim_{x \to x_0} f(x) = L$，即对任意实数 $\varepsilon > 0$，存在 $\delta > 0$，使得只要 $x \in X$ 且 $0 < |x - x_0| < \delta$，就有 $|f(x) - L| < \varepsilon$。
定义 1.3：序列收敛
若序列 $\{x_n\}_{n=1}^{\infty}$ 满足：对任意 $\epsilon > 0$，存在正整数 $N(\epsilon)$，使得当 $n > N(\epsilon)$ 时，有 $|x_n - x| < \epsilon$，则称该序列的极限为 $x$。这为我们 迭代算法。
2. 连续性与可微性：安全要求
在数值软件中， 连续性（定义 1.2） 以及 可微性（定义 1.5） 不仅是学术性质，更是数值稳定性的“安全要求”。 定理 1.6 证明了如果函数在 $x_0$ 处可微，则它在 $x_0$ 处连续，从而确保微小的测量误差不会导致输出发生灾难性跳变。
🎯 现实案例：理想气体定律
考虑 $PV = nRT$。在理论微积分中，我们假设变量是精确的。而在数值计算中，我们承认 $P$ 和 $V$ 是测量序列的极限值。
$T = \frac{PV}{nR} = \frac{(1.00)(0.100)}{(0.00420)(0.08206)} = 290.15 \text{ K} = 17^\circ\text{C}$